# Algebraic Topology by Edwin H. Spanier

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By Edwin H. Spanier

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Die Translationen = id haben keine Fixpunkte. 4 Quadratische und hexagonale Gitter. Die Symmetriegruppe S(Ω) := {a ∈ C : aΩ = Ω} < C× eines Gitter Ω ist die Gruppe der Einheitswurzeln µ2 , µ4 oder µ6 . Beweis. Wir w¨ahlen 0 = ω ∈ Ω von minimalem Betrag. h. S(Ω) < S 1 . Wenn ♯S(Ω) > 6 ist, gibt es zwei Elemente a = b in S(Ω) , so daß |a − b| < 1 ist. Dann w¨are 0 = (a−b)ω ∈ Ω , aber |(a−b)ω| < |ω| . Das ist ein Widerspruch. Somit ist ♯S(Ω) ≤ 6 . Weil stets −1 ∈ S(Ω) ist, folgt die Behauptung. F¨ ur jedes Gitter gilt µ2 < S(Ω) .

2 Affine Torusabbildungen. Seien Ω und Ω ∗ zwei Gitter. Eine holomorphe Funktion f : C → C induziert genau dann eine holomorphe Abbildung ϕ : C/Ω → C/Ω ∗ , ϕ(z + Ω) := f (z)+Ω ∗ , wenn f (z) = az+b affin und aΩ < Ω ∗ ist. Genau dann, wenn aΩ = Ω ∗ gilt, ist ϕ biholomorph. Beweis. 8 die holomorphe Abbildung ϕ . Sie ist genau dann bijektiv, also biholomorph, wenn aΩ = Ω ∗ gilt. Umgekehrt induziere f ∈ O(C) eine holomorphe Abbildung ϕ . Dann gilt f (z+ω)−f (z) ∈ Ω ∗ f¨ ur jedes ω ∈ Ω . Weil f stetig und Ω ∗ lokal endlich ist, h¨angt die Differenz nur von ω und nicht von z ab.

Umgekehrt induziere f ∈ O(C) eine holomorphe Abbildung ϕ . Dann gilt f (z+ω)−f (z) ∈ Ω ∗ f¨ ur jedes ω ∈ Ω . Weil f stetig und Ω ∗ lokal endlich ist, h¨angt die Differenz nur von ω und nicht von z ab. 5 Reduzierte Basen. h. f ′ ist Ω-periodisch und holomorph, also konstant. Daher ist f (z) = a z+b linear. Aus aω = f (z+ω)−f (z) ∈ Ω ∗ folgt aΩ < Ω ∗ . ¨ Der Beweis der letzten Behauptung ist eine Ubungsaufgabe. Wir nennen die durch f (z) = az + b induzierten Torusabbildungen ϕ affin. 2. 3 Isomorphismen und Automorphismen.