# Algebraische Geometrie [Lecture notes] by Scheithauer

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By Scheithauer

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Beweis. Sei X ⊂ PnK eine irreduzible, projektive Variet¨at mit X ⊂ {x0 = 0}. Dann ist X0 = X ∩ U0 = ∅ eine offene Teilmenge von X. Da X irreduzibel ist, ist X0 dicht in X, das heißt X0 = X. Wir zeigen die Irreduziblit¨at von X0 . Sei X0 = Y1 ∩ Y2 mit Y1 , Y2 ⊂ X0 abgeschlossen in X0 . Dann ist Yi = Yi ∩ X, wobei Yi den Abschluss in PnK bezeichne. Es gilt X = X0 = Y1 ∪ Y2 ⊂ Y1 ∪ Y2 , sodass entweder Y1 = X oder Y2 = X gelten muss. Das heißt Y1 = X0 oder Y2 = X0 . Somit ist X0 irreduzibel. Sei X0 ⊂ U0 eine irreduzible, abgeschlossene Teilmenge von U0 und X = X0 der Abschluss in PnK .

Die beiden Abbildungen sind zueinander invers. Beispiel. Die Fl¨ache Q ⊂ P3K definiert durch XY = ZW ist birational zu P2K , aber nicht isomorph. Die Abbildung f : P3K − → A2K (: x : y : z : w :) → wx , wy ist eine dominante, rationale Abbildung. Sei U = {(: x : y : z : w :) ∈ P3K |w = 0}. Dann ist f : U → A2K ein Morphismus. Sei g : A2K → P3K , (x, y) → (: x : y : xy : 1 :) ist eine rationale Abbildung. Es gilt g(A2K ) ⊂ Q, sodass f : A2K → Q ein Morphismus ist. Es gilt g ◦ f |Q∩U = idQ∩U 34 und f |Q∩U ◦ g = idA2K .

H. eine glatte affine Variet¨at der Dimension 1. Dann ist g ∈ K[Ci ] Die Nullstellenmenge von g auf Ci zerf¨allt in endlich viele Komponenten. Diese sind affine Variet¨aten der Dimension 0 und somit endlich. Analog folgt, dass {P ∈ C|νP (h) = 0} endlich ist. 50 Sei f ∈ K(C), f = 0. Dann ist der Divisor von f gegeben durch νP (f )P ∈ Div(C). (f ) = P ∈C Es gilt (f g) = (f ) + (g) und (1/f ) = −(f ) und (f ) = 0, falls f ∈ K. Ein Divisor D ∈ Div(C) heißt Hauptdivisor, falls D = (f ) f¨ ur ein f ∈ K(C).