Algebraische Gruppen by Jan Draisma

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Die Einbettung G → GLn benutzen wir auch um einzusehen, dass jedes Ad(g) ein Automorphismus der Lie-algebra ist. Die Abbildung Mn → Mn , A → gAg −1 ist n¨ amlich offensichtlich ein Automorphismus von Mn mit dem Kommutator, der die Lie-Klammer auf L(GLn ) ∼ = Mn ist. Schliesslich m¨ ussen wir die Ableitung von Ad ausrechnen. Wieder gen¨ ugt es, dies in GLn zu tun. Die Abbildung Ad ist die Zusammensetzung von φ : G → G × G, g → (g, g −1 ) und ψ : G × G → GL(L(G)), (g, h) → (A → gAh). Man rechnet einfach: de φv = (v, −v) f¨ ur alle v ∈ L(G) und d(e,e) ψ(v, w) = (A → vA + Aw) f¨ ur alle v, w ∈ L(G).

Ai ⊗ bi 7. 55. Die Multiplikation · ist assoziativ, und macht O(G)∗ also zu einer assoziativen Algebra. Ausserdem stimmt die Lie-Klammer auf L(G) = Te G ⊆ O(G)∗ mit dem Kommutator in O(G)∗ u ¨berein: [v, w] = v · w − w · v, v, w ∈ L(G). 56. Zeige, dass (µ∗ ◦ I) ◦ µ∗ = (I ◦ µ∗ ) ◦ µ∗ , wo I die Identit¨at auf O(G) ist, ¨ aquivalent zur Assoziativit¨at von µ ist. Beweis. Seien α, β, γ ∈ O(G)∗ , dann ist (α · β) · γ = (((α ⊗ β) ◦ µ∗ ) ⊗ γ) ◦ µ∗ = (α ⊗ β ⊗ γ)(µ∗ ⊗ I) ◦ µ∗ = (α ⊗ β ⊗ γ)(I ⊗ µ∗ ) ◦ µ∗ = (α ⊗ ((β ⊗ γ) ◦ µ∗ )) ◦ µ∗ = α · (β · γ).

49. Die Abbildung Lie(G) → Te G, D → De ist eine lineare Bijektion. Insbesondere ist dim Lie(G) = dim Te G = dim G. Beweis. Sei D ∈ Lie(G) und g ∈ G. Dann gilt Dg f = (Df )(g) = (λg−1 Df )(e) = (Dλg−1 f )(e) = De (λg−1 f ), also wird jedes Dg , und somit D, eindeutig festgelegt durch De . Sei umgekehrt v ein Tangentialvektor in Te G. Dann suggeriert oben stehende Rechnung, wie man ein ‘Vektorfeld’ zu v definieren kann: sei D die Abbildung von O(G) in die Menge der K-wertigen Funktionen auf G, die einer Funktion f ∈ O(G) die Funktion Df definiert durch (Df )(g) = v(λg−1 f ), g ∈ G, zuordnet.

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