Algèbre [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir

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By Antoine Chambert-Loir

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26 CHAPITRE 2. 3) (Sous-groupes de Z). — Soit a ∈ Z. Si a = 0, l’ensemble aZ = 0 est un sous-groupe de A. Si a ≠ 0, on remarque que aZ est un sous-groupe de Z dont ∣a∣ est le plus petit élément strictement positif. Inversement, soit A un sous-groupe de Z et démontrons qu’il existe un unique entier a ⩾ 0 tel que A = aZ. Si A = {0}, on pose a = 0. Sinon, A possède un élément non nul, donc aussi un élément strictement positif quitte à considérer l’opposé du précédent. Notons alors a le plus petit élément strictement positif de A.

Pour a ∈ A et b ∈ Ker( f ), on a f (aba −1 ) = f (a) f (b) f (a)−1 = f (a) f (a)−1 = e, donc aba−1 ∈ Ker( f ). En particuier, le noyau d’un homomorphisme de groupes est donc un sous-groupe distingué. Plus généralement, démontrons l’image réciproque f −1 (B) d’un sous-groupe distingué B de C est un sous-groupe distingué de A. Soit en effet a ∈ A et b ∈ f −1 (B) ; on a f (aba−1 ) = f (a) f (b) f (a)−1 ∈ B puisque f (b) est un sousgroupe distingué de C ; donc aba−1 ∈ f −1 (B), ce qui démontre que f −1 (B) est un sous-groupe distingué de B.

De plus, g( f¯(x i )) = g(e i ) = x i pour tout i. Comme {x1 , . . , x n } engendre G(S; R), on a donc g ○ f¯ = id. Cela conclut la preuve que f¯ est un isomorphisme de G(S; R) sur Zn . 11) (Coproduit d’une famille de groupes) Soit (Ai )i∈I une famille de groupes. Il existe un groupe A et une famille ( j i )i∈I , où, pour tout i, j i est un morphisme de groupes de Ai dans A vérifiant la propriété suivante : pour tout groupe B et toute famille ( f i )i∈I , où f i est un morphisme de groupes de Ai dans B, il existe un unique homomorphisme de groupes φ ∶ A → B tel que φ ○ j i = f i pour tout i ∈ I.

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