# Algèbre [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir

Posted by

By Antoine Chambert-Loir

Best abstract books

An introductory course in commutative algebra

The authors supply a concise creation to issues in commutative algebra, with an emphasis on labored examples and functions. Their remedy combines stylish algebraic thought with purposes to quantity thought, difficulties in classical Greek geometry, and the speculation of finite fields, which has vital makes use of in different branches of technology.

Analysis in Integer and Fractional Dimensions

This booklet offers an intensive and self-contained learn of interdependence and complexity in settings of useful research, harmonic research and stochastic research. It makes a speciality of "dimension" as a uncomplicated counter of levels of freedom, resulting in distinctive kin among combinatorial measurements and numerous indices originating from the classical inequalities of Khintchin, Littlewood and Grothendieck.

Abstract Algebra: A Concrete Introduction

It is a new textual content for the summary Algebra direction. the writer has written this article with a different, but historic, method: solvability through radicals. This method is determined by a fields-first association. even though, professors wishing to begin their direction with crew conception will locate that the desk of Contents is very versatile, and includes a beneficiant quantity of staff insurance.

Basic Modern Algebra with Applications

The e-book is basically meant as a textbook on glossy algebra for undergraduate arithmetic scholars. it's also precious should you have an interest in supplementary examining at the next point. The textual content is designed in any such means that it encourages self sustaining pondering and motivates scholars in the direction of extra learn.

Extra info for Algèbre [Lecture notes]

Sample text

26 CHAPITRE 2. 3) (Sous-groupes de Z). — Soit a ∈ Z. Si a = 0, l’ensemble aZ = 0 est un sous-groupe de A. Si a ≠ 0, on remarque que aZ est un sous-groupe de Z dont ∣a∣ est le plus petit élément strictement positif. Inversement, soit A un sous-groupe de Z et démontrons qu’il existe un unique entier a ⩾ 0 tel que A = aZ. Si A = {0}, on pose a = 0. Sinon, A possède un élément non nul, donc aussi un élément strictement positif quitte à considérer l’opposé du précédent. Notons alors a le plus petit élément strictement positif de A.

Pour a ∈ A et b ∈ Ker( f ), on a f (aba −1 ) = f (a) f (b) f (a)−1 = f (a) f (a)−1 = e, donc aba−1 ∈ Ker( f ). En particuier, le noyau d’un homomorphisme de groupes est donc un sous-groupe distingué. Plus généralement, démontrons l’image réciproque f −1 (B) d’un sous-groupe distingué B de C est un sous-groupe distingué de A. Soit en effet a ∈ A et b ∈ f −1 (B) ; on a f (aba−1 ) = f (a) f (b) f (a)−1 ∈ B puisque f (b) est un sousgroupe distingué de C ; donc aba−1 ∈ f −1 (B), ce qui démontre que f −1 (B) est un sous-groupe distingué de B.

De plus, g( f¯(x i )) = g(e i ) = x i pour tout i. Comme {x1 , . . , x n } engendre G(S; R), on a donc g ○ f¯ = id. Cela conclut la preuve que f¯ est un isomorphisme de G(S; R) sur Zn . 11) (Coproduit d’une famille de groupes) Soit (Ai )i∈I une famille de groupes. Il existe un groupe A et une famille ( j i )i∈I , où, pour tout i, j i est un morphisme de groupes de Ai dans A vérifiant la propriété suivante : pour tout groupe B et toute famille ( f i )i∈I , où f i est un morphisme de groupes de Ai dans B, il existe un unique homomorphisme de groupes φ ∶ A → B tel que φ ○ j i = f i pour tout i ∈ I.